ABC予想とIUT理論の可能性
今回は、ABC予想を証明した望月教授ととても親しい加藤教授の著書「宇宙と宇宙をつなぐ数学」について簡単に説明していきたいと思います。
ここで、皆さんに注意していただきたいことがあります。
この本は、ABC予想を証明することよりも、その証明に用いられたIUT理論の概念を我々、一般人にもわかりやすく伝えることに重点を置いています。
なので、この記事の内容も必然的にIUT理論の内容の説明になります。
とはいうものの、まずは、ABC予想が、どういうものか、ご紹介します。
簡単に言うとこういうことですが、意味がわからない人もいると思います。
では、例を挙げて説明していきましょう。
ABC予想は、1985年、スイスのデビッド・マッサー氏とフランスのジョセフ・オェステルレ氏により提示された整数論の難問です。
それは、ａ+ｂ＝ｃという単純な足し算から始まります。
正の整数ａと整数ｂの「和」であるｃと、三つの数ａ、ｂ、ｃそれぞれの素因数の「積」を考えた時、和と積の間に、ある特別な関係があることを示しています。
具体的にａ＝1、ｂ＝8で考えると、ａとｂの和は「1+8＝9（ｃ）」となりますね。
次に、ｂ＝8は「2×2×2」と素因数分解できるので素因数は2。
同様にｃ＝9は「3×3」で素因数は3となります。
ａは1なので素因数はない。
すると、ａ、ｂ、ｃそれぞれの素因数の積は「2×3＝6」となる。この場合、和であるｃ＝9と、積である6を比べると和が積より大きいです。
しかし、実は、無数にあるａ、ｂ、ｃの組み合わせを試すと、ほとんどで、積が和より大きくなります。
ABC予想は和が積より大きくなるのはとても珍しい、ということを主張しているのです。
単純な足し算とかけ算をして大小を比較しているだけなのに、証明するのはとても難しいです。
ABC予想がどういうものかご理解いただけましたでしょうか？
ここから、本題に入っていきたい思います。
IUT理論の正式名称は、宇宙際タイヒミュラー理論です。
望月教授
まず「IUT理論」では、「複数の数学世界」について考えます。これはイメージしにくいので、「数学のルールがまったく異なるいくつかの世界」程度に捉えてください。
何故そんなことを考えるのでしょうか？
その理由は、「足し算と掛け算を分離するため」です。
これもまた非常に難しいですが、とりあえず「足し算」と「掛け算」のことは脇に置いて、「正則構造」と呼ばれるものについて考えます。
「正則構造」とは、「2つの要素が一蓮托生となっているもの」のことです。
例えば、「正方形」について考えてみましょう。
「正方形」というのは、「縦の長さ」と「横の長さ」が同じ図形です。
そして、「縦の長さ」だけを固定したまま「横の長さ」を変化させることは出来ません。
それをしてしまえば「正方形」ではなくなってしまうし、「正方形」という条件を保つためには、「縦の長さ」が変化する時は「横の長さ」も変化しなければなりません。
このように、「縦の長さ」と「横の長さ」という「2つの要素」が「一蓮托生」になっているものを「正則構造」と呼びます。
そして、数学の世界においては、「足し算」と「掛け算」も「正則構造」の関係にあるのだそう。
つまり、「一蓮托生」です。
だから、「足し算」の方をそのままにして「掛け算」だけを変化させる、などということは出来ません。
それをやってしまうと、「僕らが使っている数学のルール」が壊れてしまうし、それを壊さないためには、「足し算」を変化させたら「掛け算」も変化させなければなりません。
しかし望月教授は、この「足し算」と「掛け算」の「正則構造」をなんとか壊したかった。その動機の中心にあるのが、「ABC予想」を証明したい、というものです。
つまり、望月教授は、「足し算」と「掛け算」の「正則構造」を「うまく壊す」ことが出来れば、「ABC予想」の証明にたどり着けるのではないか、と考えたのです。
彼はその発想を得てから、2年間考え続けた。その結果、「今の数学の体系では不可能」という結論に至ったそうです。
「足し算」と「掛け算」の「正則構造」を壊すということは、「僕らが使っている数学のルール」を壊すということにあたるからです。
しかし彼は、ここで諦めませんでした。
彼はその後、「今の数学の体系では不可能なら、複数の数学世界について考えれば突破出来るのではないか」という、超絶アクロバティックな発想に行きつきます。
では、「複数の数学世界」について考えるとどんな良いことがあるのでしょうか？
それを本書では「女優」を例にとって説明してあります。
「Aという名前の女優」がドラマの中で「Bという名前の教師」を演じるとします。
するとこの人物は、「同じ」人物でありながら、「現実世界ではA」「ドラマの中ではB」という「違う」人物として存在出来ます。
つまり、「複数の世界」を想定することで、「『同じ』でありながら『違う』」という矛盾をギリギリ成立させることが出来るようになるのです。
「足し算」と「掛け算」を分離するというのも、1つの世界しか考えなければ明らかに成立し得ない矛盾ですが、複数の世界を想定することで、ギリギリその矛盾を成立させられるかもしれないということです。
そうなると、次に考えなければならないことは、その複数の数学世界同士の「通信」です。
複数の数学世界がある、というだけで、互いに無関係であれば、なんの意味もありません。複数の数学世界を想定することで、何か意味のある成果を得ようとすれば、その世界同士で何らかの「通信」が成り立つ必要があります。
しかし一方で、その世界同士が簡単に「通信」出来てしまう、というのも困ります。
簡単に「通信」出来るということは、その世界同士にあまり差がないということになりますが、今実現したいことは、「足し算」と「掛け算」を分離するという1つの数学世界では不可能なことであり、世界同士の差は大きくなければ実現できそうにありません。
つまり必然的に、「通信」もある程度困難でなければならない、ということです。
まったく「通信」出来ないのも困りますが、「通信」が易しすぎても困ります。
そういう条件を満たすものとして望月教授は「対称性」に目をつけました。
「対称性」が何であるかはここでは説明しませんが、イメージとしては、「ある情報を復元するための性質」程度に思ってください。
例えば「赤くて丸い果物」という「性質」を「通信」することで、「りんご」という情報が復元できる、というようなイメージです。
しかし、この「通信」には問題があります。それは、正確に伝わらない、ということです。
元々この「通信」には「困難なものでなければならない」という制約があったのだから当然です。
例えば「赤くて丸い果物」という「性質」を「通信」しても、受け取った側は「さくらんぼ」として情報を復元するかもしれません。
同じように「IUT理論」における「通信」では、「対称性」から元の情報を完全には復元できない、ということが問題になります。
では、「どの程度復元できない」のでしょうか？
つまり、「通信」した情報は「どの程度歪む」のでしょうか。
「IUT理論」は、その「歪み」を定式化（式の形で表現）出来る、と主張します。
まさにこの点こそが、「IUT理論」の真骨頂です。
「IUT理論」では、この「歪み」を、ある不等式で表しています。
つまり「IUT理論」とは、
「複数の数学世界同士の通信を考えた時、その通信による情報の歪みをある不等式で表すことが出来る」
と主張する理論なのです。
これで、自分が理解している限りの「IUT理論」の説明は終わりです。
ここでは、紹介しませんでしたが、本書の前半では、「IUT理論は数学者にどう受け入れられたのか」や「数学者の仕事とはどういうものであるか」など、面白い話も満載です。
IUT理論は、いかがだったでしょうか？
もちろん、世界でも数人しか理解できない難しい理論なので、首をひねられた方も多いと思います。しかし、知的興奮を抑えられないとても興味深い理論です。私も、この理論と遭遇したとき、とてもゾクゾクしました。
ちなみに、ABC予想が証明されると、フェルマーの最終定理やポアンカレ予想も簡単に証明することができます。
もっとIUT理論を深く理解したいと言う人は、ぜひ「宇宙と宇宙をつなぐ数学」を読んでみてください。
また、IUT理論の精密な仕組みを動画で表したものもあるので、興味のある方は、見てみてください。
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