数学最難問！ミレニアム懸賞問題 唯一証明に成功したペレルマンとは 解いた人
おそらく皆さんは僕と同じで数学に対して面倒な計算をしなければいけないというイメージがありますよね。ですが、この数学の歴史や偉人、最難の問題を知ると数学に対するイメージが変わるかもしれません。
ミレニアム問題を解いた人とは、いったいどんな人なのでしょうか…
数学最大の難問
数学で一番難しい問題ってなんだと思いますか？
なんと数学の世界には100万ドルの懸賞金がかけられているミレニアム懸賞問題があります。100万ドルは約１億円ですよね。つまり、問題を解けば１億円がもらえるのです。
もちろん他にもフェルマーの最終定理のように解くことが難しい問題もありますが、今回はミレニアム懸賞問題にフォーカスしてみます。
ミレニアム懸賞問題一覧
※理解しなくて大丈夫です！
- ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題 (Yang–Mills and Mass Gap)
任意のコンパクトな単純ゲージ群 G に対して、非自明な量子ヤン・ミルズ理論が 'R4 上に存在し、質量ギャップ Δ > 0 を持つことを証明せよ。
- リーマン予想 (Riemann Hypothesis)
リーマンゼータ関数 ζ(s) の非自明な零点 s は全て、実部が 1/2 の直線上に存在する。
- P≠NP予想 (P vs NP Problem)
計算複雑性理論（計算量理論）におけるクラスPとクラスNPが等しくない。
- ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ (Navier–Stokes Equation)
3次元空間と（1次元の）時間の中で、初期速度を与えると、ナビエ–ストークス方程式の解となる速度ベクトル場と圧力のスカラー場が存在して、双方とも滑らかで大域的に定義されるか。
- ホッジ予想 (Hodge Conjecture)
複素解析多様体のあるホモロジー類は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろう。
- ポアンカレ予想 (Poincaré Conjecture) - グリゴリー・ペレルマンにより解決済。
- バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想 (BSD予想、Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture)
楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。
ミレニアム懸賞問題とは、アメリカのクレイ数学研究所によって2000年に発表された100万ドルの懸賞金がかけられている7つの問題のことである。そのうち1つは解決済み、6つは2020年4月末の時点で未解決である。ミレニアム賞問題、ミレニアム問題とも呼ばれる。
なぜこれほど巨額がかけられていると思いますか？
簡単にいうと難しすぎるのです。ミレニアム懸賞問題は過去に様々な数学者が挑戦してきた問題ですが解けた人が一人しかいないのです。
そしてその一人が興味深い方でした。
↓ 詳しく理解したい方におすすめの書籍があります。
唯一ミレニアム問題を解いた偉人
７つある問題の中で唯一解かれた問題が『ポアンカレ予想』でした。
予想！？ってなりませんでしたか？〜問題ではなく、予想です。
予想とは
数学においては「予想」(conjecture) という語は、真であると思われてはいるが、いまだに真であるとも偽であるとも証明されていない命題を指す。 例としては、リーマン予想、ゴールドバッハの予想、P≠NP予想がある。 予想がもし真であると証明されれば定理となり、さらに他の命題の証明に利用できることになる。
つまり、感覚的には正しい定理なのですが、証明されていないというものです。
ゴールドバッハの予想を例にしましょう。
この予想は「４以上の全ての偶数は素数の和で表すことができる」というもの。
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7
…
このように４以上のすべての偶数は素数の和で表すことができると感覚的にはわかりますよね。ですが、この証明は完成していないのです。
このような問題のことを予想と言います。
ポアンカレ予想とは
ではポアンカレ予想とは何なのか。
ポアンカレ予想は、1904年にフランスの数学者アンリ・ポアンカレによって提出された。 ポアンカレ予想は現在では「単連結な3次元閉多様体は3次元球面 S3 に同相である」と表現される...
と、まぁわかりにくい。
数学的に厳密ではないが、たとえて言えば、宇宙の中の任意の一点から長いロープを結んだロケットが宇宙を一周して戻ってきて、ロープの両端を引っ張ってロープを全て回収できた場合、宇宙の形は概ね球体（＝ドーナツ型のような穴のある形、ではない）と
言えるのかという問題です。
まだこれでも難しいような…
そう。問題を理解するのすら難しいのですね。正直ここで理解する必要はありません。とりあえず、難しいんだろうな〜と思っておいてください。
解いた人
2006年にロシア人の数学者「グリゴリー・ペレルマン」（当時37歳）さんが証明しました。フィールズ賞（数学のノーベル賞的なもの）が贈られるも辞退現在は山の中でキノコ狩りに熱中しているそう。
そして彼はなんと『クレイ賞』の受賞を拒否し100万ドル（約１億円）を受け取りませんでした。
さらにフィールズ賞（数学のノーベル賞的なもの）を受け取りませんでした。この賞は40歳以下の人物に4年に1度授与されるため、ノーベル賞を受賞するよりも難しいと言われています。
ペレルマンは、以前にも昇進や欧州の若手数学者に贈られる賞を辞退するなどした経緯があり、賞金に全く興味を示さなかったり、自分の論文をあまり公表したがらない性格でも知られていました。
なぜ彼は賞や賞金を受け取らなかったのでしょうか…？
このことについて彼はこう語っています。
「自分が有名でなければ、数学界の不誠実さについて不満を述べるという醜いことをせずに、黙ってペットのように扱われておくことができるが、有名になると何かを言わなければならなくなる」
正直もう有名人なのですが、彼は数学会の不誠実さに不満を抱いているようですね。
挑戦してみる
僕もこのミレニアム懸賞問題や数学最大の難問などを見て、解きたいと思いました。
そこで記事中にもご紹介しましたが、ゴールドバッハの予想にチャレンジしてみます。
素数をフェルマーの小定理などを用いて素早く判定するプログラムを利用し、まずは100万までの素数を入手しました。↓↓↓
※ 数字だらけですのでご注意ください
ですが、これはミレニアム検証問題には入っていません。ですが、同等の難易度を誇ります。この同等のレベルの問題にはあのabc予想も入っています。
これまで数学者たちが証明することのできなかった問題なのでとても難しいです。
記事を読んでいただきありがとうございます。
ミレニアム懸賞問題を通して数学の面白さを感じた方がいれば嬉しいです。学校では面倒な計算をさせられるだけなのでなかなか数学が好きになれないと思います。ですが、数学の歴史を知ることによってきっと興味を持てるようになると思います。
最後の方でチャレンジしてみることを宣言しましたが、まだ高校２年生になったばかり…さらに数学が最高に得意というわけではありません。解けない確率の方が圧倒的に高いですが、これまでたくさんの数学者が証明することができなかったと聞くとやる気がででしまいました。がんばって証明してみます！
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