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数学の公式作り始めました プログラム検証もあり

 

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数学の時間にとある公式を作ったのが始まりでした。

 

今回の記事では作った公式をご紹介しますが、一部の解説は省略します。もし、どうしても知りたい公式があればコメント欄などで教えてください。その場合は記事に解説を追加したいと思います。

 

時計の針の角度公式

1つ目の公式は時計の針の角度を求めるものです。

 

きっかけ

これを思いついたきっかけはとある難問でした。それは「3時15分の時の短針(時間の針)と長針(分の針)の間の角度は?」というものです。みなさんはわかりますか?

 

一応言っておきますが、0度ではありませんよ。

 

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答えは:7.5度です。

この問題に対する計算方法をご説明します。

 

問題に対する解説

 

まず、短針は360°を12時間で1回転しますよね。このことから360➗12=30となり、短針は1時間に30°進むことになります。そして30➗60=0.5より、短針は1分間に0.5°進むことがわかります。

長針は360➗60=6となり、1分間に6度進みます

 

では先ほどの問題の数値で計算してみましょう。

短針の角度は30°×3時=90°(12時を0°とする)、そして15分進んでいるため90+15分×0.5°=97.5°です。

長針の角度は簡単で、90°ですよね。

 

これらのことから97.5°-90°=7.5°と導くことができます。

 

 

そしてこれを公式化しようと数学の時間に思いつき、作ってみました。

 

公式

 

a時b分c秒におけるそれぞれの針の間の角度θ

・時-分(短針と長針の角度) 

 θ = |30a-5.5b|

・時-秒

 θ = |30a+0.5b-c|

・分-秒

 θ = |6b-6c|→ 6|b-c|

 

 

注意:13時などの12時を超えている場合は角度が一周した後の角度になるため、360度を超えてきます。そのため、計算で出てきた値から360を引くか、最初から13時を1時などのように変更することをおすすめします。

 

 

まだ時-分の確認しかしていませんが、計算上誤りがなければ全てあっていると思います。ちなみに、| |は絶対値で|-4|なら4となります。マイナスでも正の数になります。

 

では、先ほどの難問をこの公式を用いて解いてみます。

 

3時15分における時-分の間の角度θは

 θ = |30×3-5.5×15|

    = |90-82.5|

    = |7.5|

    = 7.5

 よって答えは7.5°となる。

 

正解ですね!

 

正直、何に使える公式なん?と聞かれても答えられません笑

ですが、この公式を作ったことにより、公式を作る楽しさを実感した僕は他の公式も作ろうと考えるようになります。

 

プログラムで先ほどの公式に値をあてはめて、計算させてみました。

言語はpythonです。htmlのタグも出力させました。

 

result = "<tr><td style='background: black;color:gray;'></td>"
for i in range(0,13):
result += "<td style='background: black;color:gray;'>"+str(i)+"時</td>"
result+="</tr>"
for m in range(0,61):
result+=("<tr><td style='background: black;color:gray;'>"+str(h)+"分</td>")
for h in range(0,13):
result+=("<td align='center;'>"+str(abs(h*30-5.5*m))+"</td>")
result+=("</tr>")
print(result)

 

※今回は数学の公式についてなのでプログラム解説は割愛します。

 (このプログラム使ったところでhtml用のデータしか出ないけど)

 

コンピュータで公式の確認 

 

  0時 1時 2時 3時 4時 5時 6時 7時 8時 9時 10時 11時 12時
0分 0.0 30.0 60.0 90.0 120.0 150.0 180.0 210.0 240.0 270.0 300.0 330.0 360.0
1分 5.5 24.5 54.5 84.5 114.5 144.5 174.5 204.5 234.5 264.5 294.5 324.5 354.5
2分 11.0 19.0 49.0 79.0 109.0 139.0 169.0 199.0 229.0 259.0 289.0 319.0 349.0
3分 16.5 13.5 43.5 73.5 103.5 133.5 163.5 193.5 223.5 253.5 283.5 313.5 343.5
4分 22.0 8.0 38.0 68.0 98.0 128.0 158.0 188.0 218.0 248.0 278.0 308.0 338.0
5分 27.5 2.5 32.5 62.5 92.5 122.5 152.5 182.5 212.5 242.5 272.5 302.5 332.5
6分 33.0 3.0 27.0 57.0 87.0 117.0 147.0 177.0 207.0 237.0 267.0 297.0 327.0
7分 38.5 8.5 21.5 51.5 81.5 111.5 141.5 171.5 201.5 231.5 261.5 291.5 321.5
8分 44.0 14.0 16.0 46.0 76.0 106.0 136.0 166.0 196.0 226.0 256.0 286.0 316.0
9分 49.5 19.5 10.5 40.5 70.5 100.5 130.5 160.5 190.5 220.5 250.5 280.5 310.5
10分 55.0 25.0 5.0 35.0 65.0 95.0 125.0 155.0 185.0 215.0 245.0 275.0 305.0
11分 60.5 30.5 0.5 29.5 59.5 89.5 119.5 149.5 179.5 209.5 239.5 269.5 299.5
12分 66.0 36.0 6.0 24.0 54.0 84.0 114.0 144.0 174.0 204.0 234.0 264.0 294.0
13分 71.5 41.5 11.5 18.5 48.5 78.5 108.5 138.5 168.5 198.5 228.5 258.5 288.5
14分 77.0 47.0 17.0 13.0 43.0 73.0 103.0 133.0 163.0 193.0 223.0 253.0 283.0
15分 82.5 52.5 22.5 7.5 37.5 67.5 97.5 127.5 157.5 187.5 217.5 247.5 277.5
16分 88.0 58.0 28.0 2.0 32.0 62.0 92.0 122.0 152.0 182.0 212.0 242.0 272.0
17分 93.5 63.5 33.5 3.5 26.5 56.5 86.5 116.5 146.5 176.5 206.5 236.5 266.5
18分 99.0 69.0 39.0 9.0 21.0 51.0 81.0 111.0 141.0 171.0 201.0 231.0 261.0
19分 104.5 74.5 44.5 14.5 15.5 45.5 75.5 105.5 135.5 165.5 195.5 225.5 255.5
20分 110.0 80.0 50.0 20.0 10.0 40.0 70.0 100.0 130.0 160.0 190.0 220.0 250.0
21分 115.5 85.5 55.5 25.5 4.5 34.5 64.5 94.5 124.5 154.5 184.5 214.5 244.5
22分 121.0 91.0 61.0 31.0 1.0 29.0 59.0 89.0 119.0 149.0 179.0 209.0 239.0
23分 126.5 96.5 66.5 36.5 6.5 23.5 53.5 83.5 113.5 143.5 173.5 203.5 233.5
24分 132.0 102.0 72.0 42.0 12.0 18.0 48.0 78.0 108.0 138.0 168.0 198.0 228.0
25分 137.5 107.5 77.5 47.5 17.5 12.5 42.5 72.5 102.5 132.5 162.5 192.5 222.5
26分 143.0 113.0 83.0 53.0 23.0 7.0 37.0 67.0 97.0 127.0 157.0 187.0 217.0
27分 148.5 118.5 88.5 58.5 28.5 1.5 31.5 61.5 91.5 121.5 151.5 181.5 211.5
28分 154.0 124.0 94.0 64.0 34.0 4.0 26.0 56.0 86.0 116.0 146.0 176.0 206.0
29分 159.5 129.5 99.5 69.5 39.5 9.5 20.5 50.5 80.5 110.5 140.5 170.5 200.5
30分 165.0 135.0 105.0 75.0 45.0 15.0 15.0 45.0 75.0 105.0 135.0 165.0 195.0
31分 170.5 140.5 110.5 80.5 50.5 20.5 9.5 39.5 69.5 99.5 129.5 159.5 189.5
32分 176.0 146.0 116.0 86.0 56.0 26.0 4.0 34.0 64.0 94.0 124.0 154.0 184.0
33分 181.5 151.5 121.5 91.5 61.5 31.5 1.5 28.5 58.5 88.5 118.5 148.5 178.5
34分 187.0 157.0 127.0 97.0 67.0 37.0 7.0 23.0 53.0 83.0 113.0 143.0 173.0
35分 192.5 162.5 132.5 102.5 72.5 42.5 12.5 17.5 47.5 77.5 107.5 137.5 167.5
36分 198.0 168.0 138.0 108.0 78.0 48.0 18.0 12.0 42.0 72.0 102.0 132.0 162.0
37分 203.5 173.5 143.5 113.5 83.5 53.5 23.5 6.5 36.5 66.5 96.5 126.5 156.5
38分 209.0 179.0 149.0 119.0 89.0 59.0 29.0 1.0 31.0 61.0 91.0 121.0 151.0
39分 214.5 184.5 154.5 124.5 94.5 64.5 34.5 4.5 25.5 55.5 85.5 115.5 145.5
40分 220.0 190.0 160.0 130.0 100.0 70.0 40.0 10.0 20.0 50.0 80.0 110.0 140.0
41分 225.5 195.5 165.5 135.5 105.5 75.5 45.5 15.5 14.5 44.5 74.5 104.5 134.5
42分 231.0 201.0 171.0 141.0 111.0 81.0 51.0 21.0 9.0 39.0 69.0 99.0 129.0
43分 236.5 206.5 176.5 146.5 116.5 86.5 56.5 26.5 3.5 33.5 63.5 93.5 123.5
44分 242.0 212.0 182.0 152.0 122.0 92.0 62.0 32.0 2.0 28.0 58.0 88.0 118.0
45分 247.5 217.5 187.5 157.5 127.5 97.5 67.5 37.5 7.5 22.5 52.5 82.5 112.5
46分 253.0 223.0 193.0 163.0 133.0 103.0 73.0 43.0 13.0 17.0 47.0 77.0 107.0
47分 258.5 228.5 198.5 168.5 138.5 108.5 78.5 48.5 18.5 11.5 41.5 71.5 101.5
48分 264.0 234.0 204.0 174.0 144.0 114.0 84.0 54.0 24.0 6.0 36.0 66.0 96.0
49分 269.5 239.5 209.5 179.5 149.5 119.5 89.5 59.5 29.5 0.5 30.5 60.5 90.5
50分 275.0 245.0 215.0 185.0 155.0 125.0 95.0 65.0 35.0 5.0 25.0 55.0 85.0
51分 280.5 250.5 220.5 190.5 160.5 130.5 100.5 70.5 40.5 10.5 19.5 49.5 79.5
52分 286.0 256.0 226.0 196.0 166.0 136.0 106.0 76.0 46.0 16.0 14.0 44.0 74.0
53分 291.5 261.5 231.5 201.5 171.5 141.5 111.5 81.5 51.5 21.5 8.5 38.5 68.5
54分 297.0 267.0 237.0 207.0 177.0 147.0 117.0 87.0 57.0 27.0 3.0 33.0 63.0
55分 302.5 272.5 242.5 212.5 182.5 152.5 122.5 92.5 62.5 32.5 2.5 27.5 57.5
56分 308.0 278.0 248.0 218.0 188.0 158.0 128.0 98.0 68.0 38.0 8.0 22.0 52.0
57分 313.5 283.5 253.5 223.5 193.5 163.5 133.5 103.5 73.5 43.5 13.5 16.5 46.5
58分 319.0 289.0 259.0 229.0 199.0 169.0 139.0 109.0 79.0 49.0 19.0 11.0 41.0
59分 324.5 294.5 264.5 234.5 204.5 174.5 144.5 114.5 84.5 54.5 24.5 5.5 35.5
60分 330.0 300.0 270.0 240.0 210.0 180.0 150.0 120.0 90.0 60.0 30.0 0.0 30.0

 

(追記)

上の表より新たな法則を見つけました。

X時X分における時-分の間の角度は24.5X度です。

実際に確かめてみてください。

もしかしたらもっと法則性があるのかもしれません。何か見つけたらご連絡お願いします!

 

 

 地平線の距離公式 (未完成)

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公式自体は完成したのですが、この記事を書く際に、間違いがなかったか確認のため検索してみると地球の直径を誤った情報から入手した可能性があり、公式を書き換えなければならなくなりました。僕がみた情報では地球の直径は25,512kmでしたが、確認のため検索してみると12,742 kmでした…もしかしたら古い情報だったのかもしれません。(情報源・物理室)

 

公式を再検証し、完成したら載せますので、お待ちください…

 

 

時差の公式

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みなさんも中学校や高校で時差を求める計算をしたことがあると思います。あの計算は面倒なので簡単にできないかなーと考え、公式にしてみました。

A地点とB地点の時差t公式

A,Bそれぞれの経度をa、bとする。

ただし、「経度=東経=360-西経」とする

・0.25t = |a-b|  t[]

・15t = |a-b|  t[]

公式が2つありますが、tの単位が違うだけで同じ公式です。

 

例えば0°のA地点とその裏側の180°のB地点の時差tは

 0.25t = |0-180|

 0.25t = |-180|

 0.25t = 180

      t = 720[

 これを時間に戻すと720➗60より、12時間。よって正解!

 

2つ目の単位が時の公式では

 15t = 180

     t = 12[]

 こちらも正解ですね。

 

注意:便利なのかはわかりません。

 

 

3次元空間の距離公式

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数Ⅱで平面の距離公式を最近勉強しました。まぁまぁ面白かったのですが、3次元での距離公式を作れないか考え、作ってみました。

これは後から知ったことなのですが、数Bの教科書に僕が作った公式と変数は異なるものの、形は全く同じ公式が紹介されていたので少しがっかりしました。ですが、導き出した公式が正しいとわかったので安心しました。

説明は面倒なので割愛します!

 

点A(a,b,c)と点B(x,y,z)の距離d

 d = √(x-a)*+(y-b)*+(z-c)*

とてもわかりづらいですが、*は2乗を表しており、右辺は全てルートの中に入っています。

つまり、

 d* = (x-a)*+(y-b)*+(z-c)*

と同じです。

 

この公式の解説は要望が来れば載せます!簡単です。

 

 例えば、原点A(0,0,0)と点B(10,10,10)の距離は

 d* = 100+100+100

    d = 10√3

となります。 

 

この距離公式も十分面白いですが、これを応用して何かできないか…と考えたところ、3次元空間での軌跡の方程式を作ってみようと思いつき、作ってみました。

 

3次元空間での軌跡

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ちなみにさっきの距離公式とは違い、数Bの教科書には載っていなかったと思います!

点A(a,b,c)からの距離がdの軌跡

 d* =  (x-a)*+(y-b)*+(z-c)*

 

さっきと全く同じですが、これが軌跡になります。

これが正しいと証明するため、先ほどの原点A(0,0,0)と点B(10,10,10)の距離である10√3を使います。点Bの座標が動き回るため、点Bの座標は(x,y,z)とおけます。

では当てはめてみます。

 (10√3)* = (x-0)*+(y-0)*+(z-0)*

     300 =  x*+y*+z*

よって、半径10√3の原点(0,0,0)を中心とする球体となります。

 

これが正しいのか?と思うかもしれません。そこで先ほどの点Bの(10,10,10)を使います。x,y,zにそれぞれ代入すると

 

 300 = (10)*+(10)*+(10)*

 300 = 300

値が一致しましたね。軌跡であるため、反対の座標(-10,-10,-10)を代入してみると

 300 = (-10)*+(-10)*+(-10)*

 300 = 300

 成功です!

 

 

軌跡ができたときは少し感動しました笑

 

 

これからもっと公式を作る予定です。3次元空間での距離公式のようにすでに完成しているものを作ってしまうかもしれませんが、あっていたんだと安心して次の公式を作るようにします!

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記事を読んでいただきありがとうございます。

公式を作る事はとても楽しいです!僕が目指す公式は便利で有効なものです。時計の針の角度公式なんて使い所があるのか?と自分でも思っています。公式や内容に間違いがありましたら、コメント欄やお問い合わせフォームなどからご連絡ください。

 

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