全ての自然数の2乗の和が0になることの簡単な証明 ゼータ関数（-2）の零点

全ての自然数の二乗の和S

S = 1^ + 2^ + 3^ + 4^ + 5^ + 6^ + 7^ + 8^+... = 0の証明

なぜこの式を？

数学の時間が始まる前の休み時間で、友達に何か面白い問題ない？と聞いたところ、「バーゼル問題を証明してみて」と言われました。

その時に聞き間違えたようで、バーゼル問題では全ての自然数の2乗の逆数の和というところを、全ての自然数の2乗の和と勘違いして、解いていたら0になることを発見したのです。

さらに、後から気付いたのですが、これって、ゼータ関数のs = -2の時なんです。

つまり、自明な零点の証明を一つしたことになりました。

全ての自然数の2乗の和が0になる証明

ゼータ関数 ζ (-2) = 0 の証明でもある。

※^は2乗を表しています。

全ての自然数の2乗の和はこのように表すことができますよね。

S = 1^ + 2^ + 3^ + 4^ + 5^ + 6^ + 7^ + 8^+...

次に、Sを８倍します。

  S = 1^ + 2^ + 3^ + 4^ + 5^ + 6^ + 7^ + 8^  + ...  -①

8S =     1^×8   +   2^×8   +  3^×8    +   4^×8  + ...　-②

※８倍した方は位置を一つ分ずらしていきます。

①-②より、

-7S = 1^ - 2^ + 3^ - 4^ + 5^ - 6^ + 7^ - 8^ ...

という規則性を持った数列が誕生します。

左辺の数列をKとしましょう。

つまり、「-7S = K」と表せます。

Kを２つ書きます。下のKから1^をカッコの外に出しておきます。

2K = (1^ - 2^ + 3^ - 4^ + 5^ - 6^ + 7^ - 8^ ...) +

           1^ + ( - 2^ + 3^ - 4^ + 5^ - 6^ + 7^ - 8^ ...)

「1^-2^」や「3^-4^」などは全て因数分解できます。

よって、

2K = { (1+2)(1-2) + (3+4)(3-4) + (5+6)(5-6) + (7+8)(7-8)... } + 

           1 + { (3+2)(3-2) + (5+4)(5-4) + (7+6)(7-6) + (9+8)(9-8)... }

そしてそれぞれの右側のカッコに注目してもらいたいのですが、

上の段のカッコの右側は全てマイナス１になりますよね。そして、下の段ではプラス１になります。このことから2Kを書き直すと…

2K = { - (1+2) - (3+4) - (5+6) - (7+8) + ... } + 

          1 + { (2+3) + (4+5) + (6+7) + (8+9) + ... }

※下の段では数字を並び替えています。

そしてマイナスをかけてやると…

2K = { -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 ... } +

          1+{ 2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9... }

もう、お分かりだとは思いますが、上の段と下の段を足し合わせると、0になりますよね。つまり、右側の和が0となります。

よって、2K = 0  →　K = 0 が導かれます。

さて、-7S = K　だったことを覚えているでしょうか笑

K = 0より、-7S = 0　→　S = 0

よって全ての自然数2乗の和は0となります。

信じられませんよね。ゼータ関数の-2の時の自明な零点を示したことになります。

※ちなみに他の値も計算できました。

計算量が膨大でしたが…