ガンマ関数（Γ function）

$\displaystyle Γ(α) = \int_{0}^{∞}x^{α-1}e^{-x} dx $

と定義されますが、厳密には

$\displaystyle Γ(α) = \lim_{\substack{R\to ∞ \\ ε\to +0}} \int_{ε}^{R}x^{α-1}e^{-x} dx $

と定義されます。

また、Γ関数の性質として

$\displaystyle Γ(α+1) = αΓ(α) $

が成り立ちます。

簡単に証明ができるので、見てみましょう！

$\displaystyle Γ(α+1) = \lim_{\substack{R\to ∞ \\ ε\to +0}} \int_{R}^{ε}x^{α}e^{-x} \\ = \lim_{\substack{R\to ∞ \\ ε\to +0}} \{ \left[ -x^{α}e^{-x} \right]_ε^R + \int_{ε}^{R} αx^{α-1}e^{-x}dx \} \\ = \lim_{\substack{R\to ∞ \\ ε\to +0}} \{ -R^{α}e^{-R}+ε^{α}e^{-ε} + α\int_{ε}^{R} x^{α-1}e^{-x}dx \} \\ = αΓ(α) $

部分積分で変形するだけでしたね！

Γ関数の具体的な値について調べてみようと思います。

$\displaystyle Γ(1) = \int_{0}^{∞} e^{-x}dx = 1 $

一つわかれば、あとは導いたΓ関数の性質によって段々とわかるようになります。

$\displaystyle Γ(2) = Γ(1+1) = 1 \times Γ(1) = 1 \\ Γ(3) = Γ(2+1) = 2 \times Γ(2) = 2 \times 1 \\ Γ(4) = Γ(3+1) = 3 \times Γ(3) = 3 \times 2 \times 1$

このことから、次のことが言えますね。

$\displaystyle Γ(n+1) = n! $

そう、Γ関数は階乗を表す関数になり得ます。